INTRODUCCION

La geometría es una rama de la matemática que se ocupa de las figuras en el plano y en el espacio. La raíz de la palabra se remonta a el griego ya que "geo" significa tierra y "metria" significa medida. Su estudio se basa en teoremas y se aplica en la vida práctica como método de fundamento teórico para inventos como el GPS

Frases Celebres de la Geometria

"La geometría es el arte de pensar bien y dibujar mal."

Henri Poincaré

"Donde hay materia, hay geometría."

Johannes Kepler

"Sólo es posible afirmar en geometría. "

Voltaire

"En la geometria no existen sectas."

Voltaire

"Lo que sabemos es una gota de agua; lo que ignoramos es el océano."

Isaac Newton

Semejanza de Triangulos

Dos triángulos son semejantes si existe una relación de semejanza o similitud entre ambos.

Ejemplo de semejanza de triangulos

Definición. Diremos que dos triángulos ABC y A'B'C' son semejantes, si sus ángulos respectivos son iguales y sus lados homólogos son proporcionales.

Es decir, dos triángulos ABC y A'B'C' son semejantes si y sólo sí

Por lo tanto, dos condiciones son importantes para la semejanza de triángulos:

• que los ángulos correspondientes sean iguales,
• y que los lados correspondientes sean proporcionales.

Demostraremos que si se cumple una de las condiciones también se cumple la otra. Estas propiedades se conocen como los teoremas de semejanza ángulo-ángulo-ángulo y lado-lado-lado que se denotan como AAA y LLL, respectivamente.

Ejercicios de semejanza

Teoremas de la Semejanza

Teorema 9.8:

Teorema de la semejanza AA.

Si dos ángulos de un triangulo son congruentes con dos ángulos de otro triangulo, entonces los triángulos son semejantes.

Teorema 9.9:

Dos triángulos rectángulos son semejantes si un ángulo agudo de uno es congruente con un ángulo agudo del otro.

Ángulos inscritos en una circunferencia y ángulo central

partes de un circulo

PROPIEDADES DEL CIRCULO

El postulado de la semejanza AAA

Si tres ángulos de un triangulo son congruentes con los tres ángulos de otro triangulo, entonces los triángulos son semejantes.

Teoremas de la semejanza LLL y LAL

Teorema 9.12:

Teorema de la semejanza LLL

Si los tres lados de un triangulo son proporcionales a los tres lados de otro triangulo, entonces los dos triángulos son semejantes.

Teorema 9.13:

Teorema de la semejanza LAL

Si un ángulo de un triangulo es congruente con un ángulo de otro triangulo, y si los lados correspondientes que incluyen al ángulo son proporcionales, entonces los triángulos son semejantes.

Matematicos Famosos

THALES
Nació alrededor del año 640 AC en Mileto, Asia Menor (ahora Turquía) y Falleció alrededor 560 AC en Mileto, Asia Menor.

Thales era un hombre esencialmente práctico: comerciante, hábil en ingeniería, astrónomo, geómetra, estadista. Se le incluye por tradición entre los Siete Sabios.

Como comerciante se cuenta de él que un año, previniendo una gran producción de aceitunas, monopolizó todos los lagares para hacer el aceite, con lo cual obtuvo una espléndida ganancia. Como lo que ahora llamaríamos ingeniero, estuvo dirigiendo obras hidráulicas y se dice que desvió el curso del río Halis mediante la construcción de diques.

Como astrónomo fue más célebre, predijo el eclipse total de sol visible en Asia Menor, como asimismo se cree que descubrió la constelación de la Osa Menor y que consideraba a la Luna 700 veces menor que el sol. También se cree que conoció la carrera del sol de un trópico a otro. Explicó los eclipses de sol y de luna. Finalmente creía que el año tenía 365 días.

A Thales se le atribuyen 5 teoremas de la geometría elemental:
1.-Los ángulos de la base de un triángulo isósceles son iguales
2.-Un circulo es bisectado por algún diámetro
3.-Los ángulos entre dos líneas rectas que se cortan son iguales
4.-Dos triángulos son congruentes si ellos tienen dos ángulos y un lado igual.
5.-Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto.


PLATON

Platón nació en Atenas, (o en Egina, según otros, siguiendo a Favorino), probablemente el año 428 o el 427 a. c. de familia perteneciente a la aristocracia ateniense, que se reclamaba descendiente de Solón por línea directa. Su verdadero nombre era Aristocles, aunque al parecer fue llamado Platón por la anchura de su espalda.

EUCLIDES

(330 a.C. - 275 a.C.)
Matemático griego. Poco se conoce a ciencia cierta de la biografía de Euclides, pese a ser el matemático más famoso de la Antigüedad.
Es probable que Euclides se educara en Atenas, lo que explicaría con su buen conocimiento de la geometría elaborada en la escuela de Platón, aunque no parece que estuviera familiarizado con las obras de Aristóteles. Enseñó en Alejandría, donde alcanzó un gran prestigio en el ejercicio de su magisterio durante el reinado de Tolomeo I Sóter; se cuenta que éste lo requirió para que le mostrara un procedimiento abreviado para acceder al conocimiento de las matemáticas, a lo que Euclides repuso que no existía una vía regia para llegar a la geometría (el epigrama, sin embargo, se atribuye también a Menecmo como réplica a una demanda similar por parte de Alejandro Magno).

Teoremas de Proporcionalidad

El concepto de proporcionalidad es equivalente al de semejanza cuando se comparan dos triángulos semejantes. De hecho las propiedades de la proporcionalidad (reflexividad, simetría y transitividad) son las mismas que las de la semejanza.

9.6: Teorema fundamental de la proporcionalidad:
Si una recta paralela a un lado de un triangulo interseca a los otros dos lados, entonces divide a éstos proporcionalmente. Y su recíproca establecido en el teorema 9.7: si una recta interseca a dos lados de un triangulo y los divide proporcionalmente, entonces la recta es paralela al tercer lado.

Media geométrica: parte esencial de la proporcionalidad y de la semejanza de triángulos.
Sólo es relevante la media geométrica si todos los números son positivos. Si uno de ellos es 0, entonces el resultado es 0. Si hay un número negativo (o una cantidad impar de ellos) entonces la media geométrica es, o bien negativa o bien inexistente en los números reales.


Teorema 9.10: En un triangulo rectángulo, la longitud de la altura a la hipotenusa es la media geométrica entre las longitudes de los dos segmentos de la hipotenusa.

Teorema 9.11: Dados un triangulo rectángulo y la altura de la hipotenusa, cada cateto es la media geométrica entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del segmento de la hipotenusa adyacente al cateto.

EJERCICIOS DE PROPORCIONES

Una proporción es una igualdad entre dos razones, y aparece frecuentemente en notación fraccionaria.
Por ejemplo:
2 = 6
5 15
Para resolver una proporción, debemos multiplicar cruzado para formar una ecuación. Por ejemplo:
2 = 6 =
5 15
2 • 15 = 6 • 5
30 = 30

Las proporciones expresan igualdades.
Ejemplo:
2 = 8
x 16

Ahora, se multiplica cruzado.
2 • 16 = 8 • x
32 = 8x Se resuelve la ecuación.
32 = 8x
8 8
4 = x El valor que hace cierta la proporción es 4 es decir:

2 = 8
4 16